Moment-SOS hierarchy for large scale set approximation. Application to power systems transient stability analysis
Hiérarchie moments-SOS pour approximation ensembliste à grande échelle. Application à l'analyse de stabilité transitoire des systèmes électriques.
Résumé
This thesis deals with approximating sets using Lasserre’s moment-SOS hierarchy. The motivation is the increasing need for efficient methods to approximate sets of secure operation conditions for electrical power grids. Indeed, recent and ongoing changes in the European power network, such as the increase in renewable energy sources interfaced by power electronic devices, are bringing up new challenges in terms of power grid security assessment. The aim of the present thesis is to investig- ate the suitability of them moment-SOS hierarchy as a tool for large scale stability assessment.In this regard, the very scheme of moment-SOS hierarchies is analysed in-depth, and general results regarding the convergence and accuracy of the framework are stated, along with specific computational methods inspired from differential geo- metry and partial differential equations theory, in order to improve the convergence of the numerical scheme.From the computational viewpoint, the core of this thesis is the exploitation of problem structure to alleviate the computational burden of high dimensional, large scale industrial problems. The network structure of power grids leads us to consider general sparsity patterns and design methods which distribute our computations accordingly, drastically reducing computational costs in implementation.In addition to stability analysis, a special interest is put on the theoretical prob- lem of volume computation, whose applications rather concern the field of integral calculus and probability evaluation, as understanding this problem turns out to be a prerequisite for approximating stability regions of differential systems, such as regions of attraction or positively invariant sets, with the moment-SOS hierarchy. Indeed, the moment-SOS approach to volume computation is the core of moment- SOS stability analysis.
Cette thèse a pour objet l’approximation d’ensembles au moyen de la hiérarchie moment-sommes-de-carrés (abrégée moment-SOS) de Lasserre. Elle est motivée par le besoin croissant de méthodes efficaces pour approcher des ensembles de points de fonctionnement stables dans le domaine des réseaux électriques. En effet, les récents développements et les changements en cours au sein du réseau électrique européen, comme l’augmentation de la part des énergies renouvelables dans la géné- ration d’électricité, et leur raccordement au réseau par des interfaces d’électronique de puissance, soulèvent de nouveaux défis en termes d’évaluation de la sécurité des réseaux électriques. L’objectif de cette thèse est d’étudier la pertinence de la hiérar- chie moment-SOS dans les études de stabilité à grande échelle.Dans cette optique, le schéma numérique que constituent les hiérarchies moment- SOS est étudié en détails, et des résultats généraux sur la convergence et la précision de cet outil sont formulés, et accompagnés de méthodes de calcul spécifiques, inspi- rées de notions de géométrie différentielle et de théorie des équations aux dérivées partielles, visant à améliorer la convergence du schéma numérique.Du point de vue purement calculatoire, l’élément central de cette thèse est l’ex- ploitation de la structure des problèmes, en vue d’alléger le coût des calculs liés aux problèmes industriels à grande échelle, modellisés en très grande dimension. La structure en réseau des systèmes électriques nous conduit à nous intéresser aux configurations dites parcimonieuses, et à concevoir des méthodes distribuant les cal- culs suivant ces configurations, permettant ainsi de réduire drastiquement le coût en calcul de nos implémentations.Enfin, en plus de l’analyse de stabilité, un intérêt particulier est accordé au pro- blème théorique du calcul de volumes, dont les applications se situent plutôt dans le domaine du calcul intégral et de l’évaluation probabiliste, la compréhension de ce problème étant un prérequis pour l’approximation de régions de stabilité pour les systèmes différentiels, comme par exemple les régions d’attractions ou les ensembles positivement invariants, au moyen des hiérarchies moment-SOS. En effet, l’approche du calcul de volumes par les hiérarchies moment-SOS est à l’origine de l’analyse de stabilité par ces mêmes hiérarchies.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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