Lyapunov stability of coupled systems involving a transport equation
Stabilité de Lyapunov de systèmes couplés impliquant une équation de transport
Résumé
This thesis in control theory aims at proposing a novel approach for the stability study of an infinite dimensional system where an ordinary differential equation is coupled to a transport equation through boundary terms. The idea is to exploit recent works on delay systems to quantify the stability of a system coupling a partial differential equations to ordinary differential equations. These works rely on Legendre’s polynomials and Bessel’s inequality to construct a novel approach of stability by the Lyapunov method and the use of linear matrix inequalities. Legendre’s polynomials allow construct a new structure of Lyapunov functional based partly on a polynomial approximation of the state of the transport equation (which is of infinite dimension). The manuscript is divided into several stages. After the presentation of a simple model coupling ordinary differential equations with one transport equation, the approximation of the infinite dimensional state using projection on Legendre polynomials is described. The Lyapunov method is then developed and it requires the production of stability conditions taking the shape of linear matrix inequalities. These conditions allow the production of numerical tests performed on academic examples. More difficult cases are discussed throughout the document, from a single equation of transport to several equations with different speeds, taking into account a term of coupling between them via a potential or the boundary of the domain. Finally, since such a coupling of a finite dimensional system with a transport equation can be an alternative description of a delay system, a study of the stability of the latter is developed using different models of the coupled system, in order to reduce the complexity of the stability conditions given in the form of matrix inequalities.
Les travaux développés dans cette thèse concernent la théorie du contrôle ont pour objectif de proposer une nouvelle approche pour l’étude de stabilité d’un système de dimension infinie où une équation différentielle ordinaire est couplée à une équation de transport par les termes de bord du domaine spatial. L’idée est d’exploiter des travaux récents effectués dans le cadre des systèmes à retard pour quantifier la stabilité d’un système couplant une équation aux dérivées partielles à des équations différentielles. Ces travaux s’appuient sur les polynômes de Legendre et l’inégalité de Bessel, pour construire une approche de la stabilité par la méthode de Lyapunov et l’utilisation d’inégalités matricielles linéaires. Les polynômes de Legendre servent à la construction d’une fonctionnelle de Lyapunov basée en partie sur une approximation polynomiale de l’état de l’équation de transport (qui est de dimension infinie). Le manuscrit s’articule en plusieurs étapes. Après la présentation d’un simple modèle couplant des équations différentielles ordinaires avec une équation de transport, l’approximation de l’état de dimension infinie utilisant une projection sur les polynômes de Legendre est décrite. La méthode de Lyapunov est ensuite développée et son fonctionnement nécessite la production de conditions de stabilité sous forme d’inégalités matricielles linéaires. Ces conditions permettent des tests numériques effectués sur des exemples académiques. Des cas plus difficiles sont abordés au fil du document, allant d’une unique équation de transport à plusieurs équations aux vitesses différentes, la prise en compte d’un terme de couplage entre celles ci via un potentiel ou via le bord du domaine. Enfin, un tel couplage avec une équation de transport pouvant être une description alternative d’un système à retard, une étude de la stabilité de ce dernier est développée en utilisant des modèles différents du système couplé, dans le but de réduire la complexité des conditions de stabilité données sous forme des inégalités matricielles.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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