Sparse structures and convex optimization for dynamical systems
Parcimonie et optimisation convexe pour les systèmes dynamiques
Résumé
In this thesis, we describe and analyze an interplay between dynamical systems, sparse structures, convex analysis, and functional analysis. We approach global attractors through an infinite dimensional linear programming problem (LP), investigate the Koopman and Perron-Frobenius semigroups of linear operators associated with a dynamical system, and show how a certain type of sparsity induces decompositions of several objects related to the dynamical systems; this includes the global attractor as well as the Koopman and Perron-Frobenius semigroups. The first part of this work focuses on sparsity for dynamical systems. We define a notion of subsystems of a dynamical system and present how the system can be decomposed into its subsystems. This decomposition carries over to many important objects for the dynamical system, such as the maximum invariant set, the global attractor, or the stable and unstable manifold. We present the limitations of our approach from a theoretical and practical perspective. We show that sparsity can be exploited for computational tasks. One example is the computation of global attractors via the two infinite dimensional LPs that we propose. For polynomial dynamical systems, we solve these LPs in an established line of reasoning via techniques from polynomial optimization resulting in a sequence of semidefinite programs. This gives rise to a sequence of outer approximations of the global attractor which converges to the global attractor with respect to Lebesgue measure discrepancy. For the Koopman and Perron-Frobenius semigroup, sparsity induces a certain block structure of these operators. This implies a decomposition of corresponding spectral objects such as eigenfunctions and invariant measures. A direct consequence is that subsystems induce eigenfunctions for the whole system and invariant measures for the dynamical system induce invariant measures of the subsystems. However, reversing this result is less straightforward. We show that for invariant measures this problem can be answered positively under necessary compatibility assumptions and for eigenfunctions we restrict to principal eigenfunctions and assume additional regularity. We complement the sparse investigation of Koopman and Perron-Frobenius operators with their analysis on reproducing kernel Banach spaces (RKBS). This follows and extends a path of current research that investigates reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS) as domains for Koopman and Perron-Frobenius operators. We provide a general framework for analysis of these operators on RKBS including their basic properties concerning closedness and boundedness. More precisely, we extend basic known properties of these operators from RKHSs to RKBSs and state new results, including symmetry and sparsity concepts, on these operators on RKBS for discrete and continuous time systems.
Dans cette thèse, nous décrivons et analysons une interaction entre systèmes dynamiques, structures parcimonieuses, analyse convexe et analyse fonctionnelle. Nous abordons les attracteurs globaux à travers un problème d'optimisation linéaire (OL) de dimension infinie, nous étudions les semigroupes de Koopman et de Perron-Frobenius d'opérateurs linéaires associés à un système dynamique, et nous montrons comment un certain type de parcimonie induit des décompositions de plusieurs objets liés aux systèmes dynamiques ; ceci inclut l'attracteur global ainsi que les semigroupes de Koopman et de Perron-Frobenius. La première partie de ce travail se concentre sur la parcimonie pour les systèmes dynamiques. Nous définissons une notion de sous-systèmes d'un système dynamique et présentons comment le système peut être décomposé en ses sous-systèmes. Cette décomposition s'applique à de nombreux objets importants pour le système dynamique, tels que l'ensemble invariant maximal, l'attracteur global, ou la varieté stable stable et instable. Nous présentons les limites de notre approche d'un point de vue théorique et pratique. Nous montrons que la parcimonie peut être exploitée pour des tâches de calcul algorithmique. Un exemple est le calcul des attracteurs globaux via les deux OL de dimension infinie que nous proposons. Pour les systèmes dynamiques polynomiaux, nous résolvons ces OLs selon un raisonnement établi via des techniques d'optimisation polynomiale, ce qui donne lieu à une séquence de programmes semi-définis. Cela occasionne une séquence d'approximations externes de l'attracteur global qui converge vers l'attracteur global en ce qui concerne la divergence de la mesure de Lebesgue. Pour le semigroupe de Koopman et de Perron-Frobenius, la parcimonie induit une certaine structure en blocs de ces opérateurs. Cela implique une décomposition des objets spectraux correspondants tels que les fonctions propres et les mesures invariantes. Une conséquence directe est que les sous-systèmes induisent des fonctions propres pour le système entier et que les mesures invariantes pour le système dynamique induisent des mesures invariantes des sous-systèmes. Cependant, l'inversion de ce résultat est moins évidente. Nous montrons que pour les mesures invariantes, ce problème peut être résolu positivement sous les hypothèses de compatibilité nécessaires et pour les fonctions propres, nous nous limitons aux fonctions propres principales et supposons une régularité supplémentaire. Nous complétons l'étude de parcimonie des opérateurs de Koopman et de Perron-Frobenius par leur analyse sur des espaces de Banach à noyau reproducteur (RKBS). Cela suit et étend une voie de recherche actuelle qui étudie les espaces de Hilbert à noyau reproducteur (RKHS) comme domaines pour les opérateurs de Koopman et de Perron-Frobenius. Nous fournissons un cadre général pour l'analyse de ces opérateurs sur les RKBS, y compris leurs propriétés de base concernant la continuité et la fermeture. Plus précisément, nous étendons les propriétés de base connues de ces opérateurs des RKHS aux RKBS et nous énonçons de nouveaux résultats, y compris les concepts de symétrie et de parcimonie, sur ces opérateurs sur les RKBS pour les systèmes à temps discret et continu.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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