Sparse structures and convex optimization for dynamical systems
Parcimonie et optimisation convexe pour les systèmes dynamiques
Résumé
In this thesis, we describe and analyze an interplay between dynamical systems, sparse structures, convex analysis, and functional analysis. We approach global attractors through an infinite dimensional linear programming problem (LP), investigate the Koopman and Perron-Frobenius semigroups of linear operators associated with a dynamical system, and show how a certain type of sparsity induces decompositions of several objects related to the dynamical systems; this includes the global attractor as well as the Koopman and Perron-Frobenius semigroups. The first part of this work focuses on sparsity for dynamical systems. We define a notion of subsystems of a dynamical system and present how the system can be decomposed into its subsystems. This decomposition carries over to many important objects for the dynamical system, such as the maximum invariant set, the global attractor, or the stable and unstable manifold. We present practical use of our approach as well as its limit! ations from a theoretical and practical perspective.
One example where the computation benefits from a sparse decomposition is our proposed method for approximation of global attractors. For polynomial dynamical systems, we solve the proposed LPs in an established line of reasoning via techniques from polynomial optimization resulting in a sequence of semidefinite programs. This gives rise to a sequence of outer approximations of the global attractor which converges to the global attractor with respect to Lebesgue measure discrepancy. For the Koopman and Perron-Frobenius semigroup, sparsity induces a certain block structure of these operators. This implies a decomposition of corresponding spectral objects such as eigenfunctions and invariant measures. A direct consequence is that invariant measures for the whole dynamical system induce invariant measures of the subsystems. However, reversing this result is less straightforward. We show that for invariant measures this problem can be answered positively under nec! essary compatibility assumptions. We complement the sparse investigation of Koopman and Perron-Frobenius operators with their analysis on reproducing kernel Banach spaces (RKBS). We provide a general framework for analysis of these operators on RKBS, extend basic known properties of these operators from RKHSs to RKBSs and state new results, including symmetry and sparsity concepts.
Nous décrivons et analysons une interaction entre systèmes dynamiques, structures parcimonieuses, analyse convexe et analyse fonctionnelle. Nous abordons les attracteurs globaux à travers un problème d'optimisation linéaire (OL) de dimension infinie, nous étudions les semigroupes de Koopman et de Perron-Frobenius d'opérateurs linéaires associés à un système dynamique, et nous montrons comment un certain type de parcimonie induit des décompositions de plusieurs objets liés aux systèmes dynamiques ; ceci inclut l'attracteur global ainsi que les semigroupes de Koopman et de Perron-Frobenius. La première partie de ce travail se concentre sur la parcimonie pour les systèmes dynamiques. Nous définissons une notion de sous-systèmes d'un système dynamique et présentons comment le système peut être décomposé en ses sous-systèmes. Cette décomposition s'applique à de nombreux objets importants pour le système dynamique, tels que l'ensemble invariant maxim! al, l'attracteur global, ou la varieté stable stable et instable. Nous présentons les limites de notre approche d'un point de vue théorique et pratique. Nous montrons que la parcimonie peut être exploitée pour des tâches de calcul algorithmique. Un exemple est le calcul des attracteurs globaux via les deux OL de dimension infinie que nous proposons. Pour les systèmes dynamiques polynomiaux, nous résolvons ces OLs selon un raisonnement établi via des techniques d'optimisation polynomiale, ce qui donne lieu à une séquence de programmes semi-définis. Cela occasionne une séquence d'approximations externes de l'attracteur global qui converge vers l'attracteur global en ce qui concerne la divergence de la mesure de Lebesgue.
Pour le semigroupe de Koopman et de Perron-Frobenius, la parcimonie induit une certaine structure en blocs de ces opérateurs. Cela implique une décomposition des objets spectraux correspondants tels que les fonctions propres et les mesures invariantes. Une conséquence directe est que les mesures invariantes pour le système dynamique induisent des mesures invariantes des sous-systèmes. Cependant, l'inversion de ce résultat est moins évidente. Nous montrons que pour les mesures invariantes, ce problème peut être résolu positivement sous les hypothèses de compatibilité nécessaires. Nous complétons l'étude de parcimonie des opérateurs de Koopman et de Perron-Frobenius par leur analyse sur des espaces de Banach à noyau reproducteur (RKBS). Nous fournissons un cadre général pour l'analyse de ces opérateurs sur les RKBS, nous étendons les propriétés de base connues de ces opérateurs des RKHS aux RKBS et nous énonçons de nouveaux résultats, y com! pris les concepts de symétrie et de parcimonie.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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